Ortonormální báze

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy, označující takovou bázi prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Prostor konečné dimenze

Nechť $V$ je konečně rozměrný vektorový prostor se skalárním součinem $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ indukující normu $\|\cdot \|$. Pod ortonormální bází prostoru $V$ pak rozumíme bázi $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$:

• $\|b_{i}\|=1$ pro $i\in \{1,\ldots ,n\}$,
• $\langle b_{i},b_{j}\rangle =0$ pro $i\neq j$, kde $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$.

Například následující báze (tzv. kanonická) je ortonormální bází vektorového prostoru $\mathbb {R} ^{3}$:

${\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},$

neboť každý z těchto vektorů má jednotkovou délku a všechny vzájemně různé vektory jsou na sebe kolmé, protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ

V obecném případě unitárního prostoru $V$ nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem $S$ ve $V$ takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve $V$.

Úplný ortonormální systém $S$ má proto tu vlastnost, že pro každý prvek $v\in V$ můžeme psát Fourierův rozvoj:

$v=\sum _{u\in S}\langle v,u\rangle u$.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek $v$ nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z $S$), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z $S$, tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru $V$, leží ale hustě v tomto prostoru.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ortonormálna báza na slovenské Wikipedii.